射影 | 入射
射影 (projective)
任意の加群$ Xに對して Ext 函手が$ {\rm Ext}^n(P,X)=0であるやうな加群$ P 射影的對象 (projective object) 對象$ Pからの Hom 函手$ {\rm Hom}(P,\_)が epi 射を保つ、卽ち$ Pからの任意の射$ P\to Xが任意の epi 射$ Y\twoheadrightarrow Xを通して分解する$ P\to Y\twoheadrightarrow Xならば、$ Pを射影的對象と呼ぶ 充分射影的 (enough projective) 射影分解 (projective resolution) 加群$ Mの射影分解とは、射影加群を竝べた左分解$ \dots\to P_0\to M\to 0を言ふ 射影次元$ {\rm pd}(M)
$ {\rm pd}(M):=\min_{n\in\N^+}(\forall i_{>n}(P_i=0))。$ nが存在しない場合は$ {\rm pd}(M):=\infty
射影表現 (projective presentation)
加群$ Mの射影加群$ Pについて、全射$ \pi:P\twoheadrightarrow Mが餘剩全射であれば、$ Pを$ Mの射影被覆と呼ぶ 餘剩全射 (superfluous epimorphism)
全射$ \pi:P\twoheadrightarrow Mの核 (ker)$ {\rm ker}(\pi)が$ Pの餘剩部分加群である$ {\rm ker}(\pi)\subseteq_s Pならば、$ \piは餘剩全射であると言ふ 入射加群 (injective module)
任意の加群$ Xに對して Ext 函手が$ {\rm Ext}^n(X,I)=0であるやうな加群$ I 對象$ Iへの Hom 函手$ {\rm Hom}(\_,I)が mono 射を epi 射に送る、卽ち$ Iへの任意の射$ X\to Iが任意の mono 射$ X\hookrightarrow Yを通して分解する$ X\hookrightarrow Y\to Iならば、$ Iを入射的對象と呼ぶ 入射分解 (injective resolution) 加群$ Mの入射分解とは、入射加群を竝べた右分解$ 0\to M\to P_0\to\dotsを言ふ 移入次元$ {\rm id}(M)
$ {\rm id}(M):=\min_{n\in\N^+}(\forall i_{>n}(I_i=0))。$ nが存在しない場合は$ {\rm im}(M):=\infty
入射表現 (injective presentation)
移入包絡 (injective envelope)